Traccia di dimostrazione

Con questa macchina geometrica si dimostra che lo strumento essenziale della geometria euclidea è la circonferenza.
Infatti con la sola circonferenza si possono produrre le rette.

Per il teorema delle secanti OT e OQ riferite alla circonferenza di centro A e raggio AD=AT=AQ si ha OP:OD=OT:OQ quindi OP*OQ=OD*OT  (1).
Dato che OD=OA-AD e che OT=OA+AT=OA+AD, sostituendo nella (1) si ha OP*OQ=(OA-AD)*(OA+AD)=OA^2-AD^2=b^2-a^2 (2), qiundi il prodotto risulta costante dipendendo solo dalla differenza dei quadrati dei parametri iniziali a e b.
Poniamo k=b^2-a^2 e consideriamo l'inversione circolare applicata ai punti del cerchio di centro C e raggio CO=CF=CP=R con costante k.
Chiamiamo G il corrispondente in tale trasformazione del punto F quindi dovrà essere OF*OG=k  (3).
Considerando la (2) e la (3) si ha quindi OP*OQ=OF*OG che possiamo anche presentare con la proporzione OF:OP=OQ:OG   (4).
Considerando che la validità della (4) dimostra la similitudine dei triangoli OQG e OPF e che OPF è rettangolo in quanto inscritto in un semicerchio deduciamo che anche OQG è un triangolo rettangolo con angolo retto nel vertice G.
Si è così dimostrato che al variare del punto P sulla circonferenza di centro C e raggio R  QGO è sempre retto e quindi Q descrive, come luogo, la retta perpendicolare alla retta OC.
Si ricava infine che  OG=(OP*OQ)/OF=k/(2*R)=(b^2-a^2)/(2*R).